ルービックキューブと群論
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[[日記]]
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** ３ｘ３ｘ３ルービックキューブの状態空間 Rubik(3)
キューブに対する操作は、キューブ面要素の置換群となる。
- 「何もしない」を単位元とする
- キューブ面要素は、３ｘ３ｘ６＝５４個。
-- ただし各面の中心要素が「向きなし」（つまり簡単なほうの...
-- 逆に各面の中心要素が「向きあり」（つまり難しくなったル...
-- これらの要素が、キューブに対する操作によって置換するこ...
キューブの６面に以下のように名前をつける：
- x軸の＋側を面0、−側を面1
- y軸の＋側を面2、−側を面3
- z軸の＋側を面4、−側を面5
そして、面i を時計回りに90度回転する操作を rot_i とする。
面要素の集合は、実際には互いに混じらない以下のような複数...
- 各面の中心要素（4個／面）の集合 Cen0〜Cen5 ~
※ Cen_i と Cen_j (i≠j) は互いに混じらない。
- 6面すべての辺要素（4Ｘ6＝24個）の集合 Edge
- 6面すべての角要素（4Ｘ6＝24個）の集合 Corn
操作 rot_i によって、面要素は以下のように置換される：
- Cen_i の 4個が回転する
(0 1 2 3) --> (1 2 3 0)
残りの Cen_j (j≠i) は変化なし
(0 1 2 3) --> (0 1 2 3)
- Edge の中で、4個による回転が2組発生する
(i*4 i*4+1 i*4+2 i*4+3) --> (i*4+1 i*4+2 i*4+3...
((i+2)*4+3 (i+5)*4+2 (i+3)*4+3 (i+4)*4)
--> ((i+5)*4+2 (i+3)*4+3 (i+4)*4) (i+2)*4+3)
- Corn の中で、4個による回転が3組発生する
(i*4 i*4+1 i*4+2 i*4+3) --> (i*4+1 i*4+2 i*4+3...
((i+2)*4 (i+5)*4+2 (i+3)*4+3 (i+4)*4+1)
--> ((i+5)*4+2 (i+3)*4+3 (i+4)*4+1 (i+2)*4)
((i+2)*4+3 (i+5)*4+1 (i+3)*4+2 (i+4)*4)
--> ((i+5)*4+1 (i+3)*4+2 (i+4)*4 (i+2)*4+3)
操作 rot_i を表す行列は、上記置換を表現するような、72ｘ72...
（内部的には、４ｘ４行列6個（Cen_i）、24ｘ24行列2個（Edge...
そして、３ｘ３ｘ３ルービックキューブに対する任意の操作（...
※ ほんとうは、もっとうまく（記述量を小さく） Rubik(3) を...
ここでは、操作 rot_i を置換行列に簡単に（安直に）表現する...
** Rubik(3) に対する、特徴的な（複合）操作
筆者の経験的に以下の操作が存在することがわかっている：
- 角要素・中心要素を変化させずに、任意の３組の辺要素（2要...
- 辺要素・中心要素を変化させずに、任意の３組の角要素（3要...
- 角要素・中心要素を変化させずに、任意の２組の辺要素（2要...
- 辺要素・中心要素を変化させずに、任意の２組の角要素（3要...
- 角要素・辺要素を変化させずに、任意の２つの中心要素を180...
** Rubik(3) に含まれうる要素
(ToDo)
** Rubik(3) の公理・定理
- 大きさ4 の巡回群
rot_i ^4 = e (rot_i)^(-1) = rot_i ^3
- (rot_0, rot_1), (rot_2, rot_3), (rot_4, rot_5) の可換性
rot_i・rot_j = rot_j・rot_i （(i,j)=(0,1),(2,3),(4,...
- これは公理？定理？
(rot_i・rot_i・rot_j・rot_j)^6 = e （i,j は任意(0〜...
- 任意の (i,j) に対して、
(rot_i・rot_j)^k1 = e
となる有限の k1 が存在する。（たぶん、k1 は 3,7,15,4 の最...
- 任意の (i,j) に対して、
(rot_i・rot_j^3)^k2 = e
となる有限の k2 が存在する。（たぶん、k2 は 7,9,4 の最小...
- （rot_i の独立性）rot_i を他の rot_j (j≠i) の積で表せな...
-- よく考えたら、Cen_i を回転できるのは rot_i だけなので、
rot_i の独立性は自明だった……
(ToDo)
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#pcomment(:pub/log/ルービックキューブと群論,100,reply)
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** ３ｘ３ｘ３ルービックキューブの状態空間 Rubik(3)
キューブに対する操作は、キューブ面要素の置換群となる。
- 「何もしない」を単位元とする
- キューブ面要素は、３ｘ３ｘ６＝５４個。
-- ただし各面の中心要素が「向きなし」（つまり簡単なほうの...
-- 逆に各面の中心要素が「向きあり」（つまり難しくなったル...
-- これらの要素が、キューブに対する操作によって置換するこ...
キューブの６面に以下のように名前をつける：
- x軸の＋側を面0、−側を面1
- y軸の＋側を面2、−側を面3
- z軸の＋側を面4、−側を面5
そして、面i を時計回りに90度回転する操作を rot_i とする。
面要素の集合は、実際には互いに混じらない以下のような複数...
- 各面の中心要素（4個／面）の集合 Cen0〜Cen5 ~
※ Cen_i と Cen_j (i≠j) は互いに混じらない。
- 6面すべての辺要素（4Ｘ6＝24個）の集合 Edge
- 6面すべての角要素（4Ｘ6＝24個）の集合 Corn
操作 rot_i によって、面要素は以下のように置換される：
- Cen_i の 4個が回転する
(0 1 2 3) --> (1 2 3 0)
残りの Cen_j (j≠i) は変化なし
(0 1 2 3) --> (0 1 2 3)
- Edge の中で、4個による回転が2組発生する
(i*4 i*4+1 i*4+2 i*4+3) --> (i*4+1 i*4+2 i*4+3...
((i+2)*4+3 (i+5)*4+2 (i+3)*4+3 (i+4)*4)
--> ((i+5)*4+2 (i+3)*4+3 (i+4)*4) (i+2)*4+3)
- Corn の中で、4個による回転が3組発生する
(i*4 i*4+1 i*4+2 i*4+3) --> (i*4+1 i*4+2 i*4+3...
((i+2)*4 (i+5)*4+2 (i+3)*4+3 (i+4)*4+1)
--> ((i+5)*4+2 (i+3)*4+3 (i+4)*4+1 (i+2)*4)
((i+2)*4+3 (i+5)*4+1 (i+3)*4+2 (i+4)*4)
--> ((i+5)*4+1 (i+3)*4+2 (i+4)*4 (i+2)*4+3)
操作 rot_i を表す行列は、上記置換を表現するような、72ｘ72...
（内部的には、４ｘ４行列6個（Cen_i）、24ｘ24行列2個（Edge...
そして、３ｘ３ｘ３ルービックキューブに対する任意の操作（...
※ ほんとうは、もっとうまく（記述量を小さく） Rubik(3) を...
ここでは、操作 rot_i を置換行列に簡単に（安直に）表現する...
** Rubik(3) に対する、特徴的な（複合）操作
筆者の経験的に以下の操作が存在することがわかっている：
- 角要素・中心要素を変化させずに、任意の３組の辺要素（2要...
- 辺要素・中心要素を変化させずに、任意の３組の角要素（3要...
- 角要素・中心要素を変化させずに、任意の２組の辺要素（2要...
- 辺要素・中心要素を変化させずに、任意の２組の角要素（3要...
- 角要素・辺要素を変化させずに、任意の２つの中心要素を180...
** Rubik(3) に含まれうる要素
(ToDo)
** Rubik(3) の公理・定理
- 大きさ4 の巡回群
rot_i ^4 = e (rot_i)^(-1) = rot_i ^3
- (rot_0, rot_1), (rot_2, rot_3), (rot_4, rot_5) の可換性
rot_i・rot_j = rot_j・rot_i （(i,j)=(0,1),(2,3),(4,...
- これは公理？定理？
(rot_i・rot_i・rot_j・rot_j)^6 = e （i,j は任意(0〜...
- 任意の (i,j) に対して、
(rot_i・rot_j)^k1 = e
となる有限の k1 が存在する。（たぶん、k1 は 3,7,15,4 の最...
- 任意の (i,j) に対して、
(rot_i・rot_j^3)^k2 = e
となる有限の k2 が存在する。（たぶん、k2 は 7,9,4 の最小...
- （rot_i の独立性）rot_i を他の rot_j (j≠i) の積で表せな...
-- よく考えたら、Cen_i を回転できるのは rot_i だけなので、
rot_i の独立性は自明だった……
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